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你也许看过小说《三体》,但这里讲述的是天文上的三体问题

小说:三体社区作者:www.santiw.com 发布时间:2019-06-11 02:02
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三体问题实际上是为了解决三个或三个以上的物体在平方反比力(万有引力与电荷之间的库仑力)的相互作用下的运动。

三体问题是不能精确求解的,除非在一系列非常特殊的情景下。(比如相同的行星运行在同一轨道)

无解的三体问题,并不是物理学界令人尴尬的黑洞。实际上那些显而易见又无法解决的问题,其存在是一种常态。在物理学里,数字并非简单到小孩子都可以算出来,实际上可以精确计算的的物理学问题一个手都数的过来(二体问题算一个),而且其中有些正被证明是无解的。

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图:S代表光源,而r代表测量点。光线的总数取决于光源的强度并且与增加的距离恒定。光线的密度越高(每单位面积的光线)意味着更强的光场。光线的密度与光源的距离的平方成反比,是因为球的表面积随着半径的平方而增加。因此,光场的强度与光源的距离的平方成反比。

单独一个天体的运动机制非常直白明了,比如它向前进行直线运动。

两个天体的运动机制虽然不简单,但通过假设其中一个天体是静止的,然后去观察另一个天体的运动规律。使用这样的方法,你会发现(至少牛顿如此)这个天体在引力作用下的运动轨道是一个椭圆。这个方法适用于量子力学中的电子与质子,则发现了氢原子(一个质子一个电子=两个物体)中电子层的实际结构。这种情况下,考虑的不是他的实际轨道,但原理是相似的。

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但对于三体问题,似乎没有那么容易找到巧妙的解决方法。因此,我们无法得到精确的三体或N体运动规律。除了氢原子以外,其他物质的精确能级和轨道层都是无法求解的。即使是“氘”(比氢多了一个中子)内部粒子的运动规律,也无法求解。

尽管如此,对我们来说也没有关系,现实并是数学可以计算的,它只是有点受数学预测。比如,尽管量子场论是有史以来最精确的理论,但实际上它从不涉及精确解决任何问题。一旦物理学家获得了所有合适的方程与大型计算机,他们就可以开始逼近答案。拥有足够的计算能力与时间,近似值可以达到与真实值惊人的一致,计算机模拟与近似本身就是一门完整的科学。

但即使人工纸笔计算,也有偷懒的办法。比如,虽然太阳系中有三个以上的天体(太阳、八大行星、大量的卫星、数百万的小行星与卫星),但几乎所有的天体都大致表现的像两个天体构成的系统。

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从根本上来说,这是天体之间巨大的大小差异造成的。对于每个行星而言,宇宙中唯一重要的天体便是太阳了。例如太阳对地球的引力大约是月球对地球引力的200倍,是木星对地球引力的20000倍,其他的天体则就更不值一提。所以如果你想要计算行星轨道的话,一个“二体近似法”可以得到99%以上的正确答案。

但那最后的1%有很多奇怪的地方,其大部分都符合混沌理论。混沌理论中比较有趣的部分是“稳定岛”,或者说是指我们物理学上的混沌吸引子。虽然没有N体系统是稳定的(完全重复他们的运动轨迹),但你还是可以发现它们的运动呈现某种规律。比如,木星的最内层卫星:木卫一、木卫二、木卫三,它们从来不重复在相同的轨道上运行,但它们之间却存在着某种规则的“共振”,因此被称为“轨道共振”。

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总的来说,当几个天体围绕一个比它们大得多的天体运行时,小天体的轨道长度会呈现出简单倍数比(1/2、2/3、1/3等等),木卫一、木卫二、木卫三轨道长度比是1:2:4。任何实际轨道的微小椭圆都会导致卫星的引力沿着另一个卫星的轨道“脉动”。(变得稍强或者稍弱)因此(这一点开始并不明显),如果其他卫星运行慢下来,它在万有引力推动下定期会运行快一些;如果它运行的太快了,它在万有引力影响下定期会运行慢一些。

卫星们仍然有着椭圆形的轨道(这是木星二体系统中的特征),但其他卫星的存在也影响着椭圆轨道的大小与指向。

当存在更多天体时,几乎可以放弃有多少个天体的观点,而去考虑流体动力学,尽管这只是一种近似。

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(左上图)从月球上看见的地月系统。(右上图)从双筒望远镜上看到的伽利略卫星群五体系统。(下图)某种大口径望远镜下看到的多体仙女座系统。

重点是,这种效应仅仅在三体或N体系统中出现,它是混沌的(从混沌理论视角上),而且无法精确预测。也就是说,我么仍然可以使用电脑去无限逼近真实值(某种程度上无限接近,因为混沌是无用的),甚至可以用一些数学技巧来得到合理的答案,即使它不完美但还是很棒的。(甚至可以让我们解决最后“奇怪的1%”。)

答案区:首先,这里解释的是如何解决二体万有引力问题

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两个物体的质量分别为 和 ,其向量分别为 和 。然后作用在 物体上的力(记住F=MA)由 牛顿万有引力定律给定。

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是 从到 的矢量,左边的两点是二次导数(数学中代表加速度)

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如果右式用立方而不是平方令你感到困惑,其实是因为这是一个向量方程式,它包括力的大小与方向。如果你只考虑力绝对值的大小,可以得到

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现在,对于每一个动作都有大小相等方向相反的作用力。(因为每一个力都被其他力所平衡):

现在可以进一步计算:

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这样可以用 替换 , 替换 ,得到

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然后跳过椭圆轨道柱,找到它的椭圆度。巧妙的,不言而喻的假设就是:太阳是不动的(在上文简化型模型中已经提到)。这正是数学一直在建立的。 称为相对位置矢量,它的作用是从第二个天体指向第一个天体。所以描述它的运动规律与描述第二天体静止情况下的运动规律是一样的。

难点来了。

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二体问题中,你唯一需要担心的就是天体1与天体2之间的引力;三体问题中,需要考虑三种形式的引力;四体问题中有6种形式的引力;五体问题中有10中形式的引力……(一般的N体中有 种形式的引力,力的数量快速增加)

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图:二体问题中简单的一个引力和五体问题中恐怖的10种引力。请读者注意,5并不是一个很大的数字。

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三体问题中,为了测算天体1、天体2、天体3的合力,必须加上每个天体的引力。

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更糟糕的是,其他天体之间可能以某种方式相互作用,合力并不是它们各自引力之和。实际上,几乎所有的其他的天体都会更复杂,即使规定“有效的仅有距离最近的天体之间的引力”,情况也是十分复杂的。

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所以,即使你规定某一个天体是静止的(就像二体问题的解决方法一样),仍然有N-1个天体是运动的,仍然有 种力需要考虑(N个方程,每个方程中有N-1种力,但根据牛顿第三定律,A对B的力等于B对A的力,所以除以2)

精确的解决方法似乎是不存在的。

参考资料

1.WJ百科全书

2.天文学名词

3. The Physicist- askamathematician

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